Question

4．设函数f（x）=（x-3）³+（x-1），数列{a_n}是公差不为零的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，则a₁+a₂+…+a₇=21．

Answer 1

分析 由题意可得[（a₁-3）³+a₁-3]+[（a₂-3）³+a₂-3]+…+[（a₇-3）³+a₇-3]=0，再利用等差数列的性质求得a₄=3，从而求得a₁+a₂+…+a₇ 的值．

解答 解：由题意可得，[（a₁-3）³+a₁-1]+[（a₂-3）³+a₂-1]+…+[（a₇-3）³+a₇-1]=14，
∴[（a₁-3）³+a₁-3]+[（a₂-3）³+a₂-3]+…+[（a₇-3）³+a₇-3]=0，
 根据等差数列的性质可得 （a₄-3-3d）³ +（a₄-3-2d）³ +…+（a₄-3-d）³+7（a₄-3）=0，
（a₄-3）³ +7（a₄-3）=0，
（a₄-3）[7（a₄-3）³ +84d²+7]=0，
∴a₄-3=0，即a₄=3．
∴a₁+a₂+…+a₇=7a₄=21，
故答案为：21

点评 本题考查数列与函数的综合，等差数列的性质，考查函数的图象的对称性，考查数列的性质，属于中档题．