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设0<a<b,过两定点A(a,0)和B(b,0)分别引直线l和m,使与抛物线y2=x有四个不同的交点,当这四点共圆时,求这种直线l与m的交点P的轨迹.
【答案】分析:设出l、m的方程,进而可表示圆的方程,利用圆方程的特点,确定l、m斜率的关系,消去参数,即可求得结论.
解答:解:设l:y=k1(x-a),m:y=k2(x-b),于是l、m可写为(k1x-y-k1a)(k2x-y-k2b)=0.
∴交点满足
若四个交点共圆,则此圆可写为(k1x-y-k1a)(k2x-y-k2b)+λ(y2-x)=0.
此方程中xy项必为0,故得k1=-k2
设k1=-k2=k≠0,于是l、m方程分别为y=k(x-a)与y=-k(x-b).
消去k,得2x-(a+b)=0,(y≠0)即为所求轨迹方程.
点评:本题考查轨迹方程,考查圆的方程,利用圆系是解题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a>b>0)
和圆O:x2+y2=b2,过椭圆上一点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B.
(1)(ⅰ)若圆O过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率e;
(ⅱ)若椭圆上存在点P,使得∠APB=90°,求椭圆离心率e的取值范围;
(2)设直线AB与x轴、y轴分别交于点M,N,求证:
a2
|ON|2
+
b2
|OM|2
为定值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率e=
1
2
,右焦点到直线
x
a
+
y
b
=1
的距离d=
21
7
,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

给出4个命题:
(1)设椭圆长轴长度为2a(a>0),椭圆上的一点P到一个焦点的距离是
2
3
a
,P到一条准线的距离是
8
3
a
,则此椭圆的离心率为
1
4

(2)若椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a≠b,且a,b为正的常数)的准线上任意一点到两焦点的距离分别为d1,d2,则|d12-d22|为定值.
(3)如果平面内动点M到定直线l的距离与M到定点F的距离之比大于1,那么动点M的轨迹是双曲线.
(4)过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、B1,则FA1⊥FB1
其中正确命题的序号依次是
(2)(4)
(2)(4)
.(把你认为正确的命题序号都填上)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•浦东新区二模)(1)设椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
与双曲线C29x2-
9y2
8
=1
有相同的焦点F1、F2,M是椭圆C1与双曲线C2的公共点,且△MF1F2的周长为6,求椭圆C1的方程;
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.
(2)如图,已知“盾圆D”的方程为y2=
4x            (0≤x≤3)
-12(x-4)  (3<x≤4)
.设“盾圆D”上的任意一点M到F(1,0)的距离为d1,M到直线l:x=3的距离为d2,求证:d1+d2为定值; 
(3)由抛物线弧E1:y2=4x(0≤x≤
2
3
)与第(1)小题椭圆弧E2
x2
a2
+
y2
b2
=1
2
3
≤x≤a
)所合成的封闭曲线为“盾圆E”.设过点F(1,0)的直线与“盾圆E”交于A、B两点,|FA|=r1,|FB|=r2且∠AFx=α(0≤α≤π),试用cosα表示r1;并求
r1
r2
的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•奉贤区二模)动圆C过定点(1,0),且与直线x=-1相切.设圆心C的轨迹Γ方程为F(x,y)=0
(1)求F(x,y)=0;
(2)曲线Γ上一定点P(1,2),方向向量
d
=(1,-1)
的直线l(不过P点)与曲线Γ交与A、B两点,设直线PA、PB斜率分别为kPA,kPB,计算kPA+kPB
(3)曲线Γ上的一个定点P0(x0,y0),过点P0作倾斜角互补的两条直线P0M,P0N分别与曲线Γ交于M,N两点,求证直线MN的斜率为定值.

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