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精英家教网已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a>b>0)
和圆O:x2+y2=b2,过椭圆上一点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B.
(1)(ⅰ)若圆O过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率e;
(ⅱ)若椭圆上存在点P,使得∠APB=90°,求椭圆离心率e的取值范围;
(2)设直线AB与x轴、y轴分别交于点M,N,求证:
a2
|ON|2
+
b2
|OM|2
为定值.
分析:(Ⅰ)(ⅰ)由圆O过椭圆的焦点,知圆O:x2+y2=b2,由此能求出椭圆的离心率e;
      (ⅱ)由∠APB=90°及圆的性质,可得|OP|=
2
b
,|OP|2=2b2≤a2,由此能求出椭圆离心率e的取值范围;
(Ⅱ)设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则
y0-y1
x0-x1
=-
x1
y1
,所以PA方程为:x1x+y1y=b2,PB方程为:x2x+y2y=b2.由此入手能得到
a2
|ON|2
+
b2
|OM|2
为定值.
解答:解:(Ⅰ)(ⅰ)∵圆O过椭圆的焦点,圆O:x2+y2=b2
∴b=c,∴b2=a2-c2=c2,∴a2=2c2
e=
2
2
.(3分)
(ⅱ)由∠APB=90°及圆的性质,可得|OP|=
2
b

∴|OP|2=2b2≤a2,∴a2≤2c2
e2
1
2
2
2
≤e<1
.(6分)
(Ⅱ)设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则
y0-y1
x0-x1
=-
x1
y1

整理得x0x+y0y=x12+y12∵x12+y12=b2
∴PA方程为:x1x+y1y=b2,PB方程为:x2x+y2y=b2
∴x1x+y1y=x2x+y2y,∴
y2-y1
x2-x1
=-
x0
y0

直线AB方程为y-y1=-
x0
y0
(x-x1)
,即x0x+y0y=b2
令x=0,得|ON|=|y|=
b2
|y0|
,令y=0,得|OM|=|x|=
b2
|x0|

a2
|ON|2
+
b2
|OM|2
=
a2
y
2
0
+b2
x
2
0
b4
=
a2b2
b4
=
a2
b2

a2
|ON|2
+
b2
|OM|2
为定值,定值是
a2
b2
.(12分)
点评:本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,若|F1F2|=2,椭圆的离心率为e=
1
2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程,
(Ⅱ)若P是椭圆上的任意一点,求
PF1
PA
的取值范围
(III)直线l:y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M,N(均不是长轴的顶点),AH⊥MN垂足为H且
AH
2
=
MH
HN
,求证:直线l恒过定点.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点F(-c,0)是长轴的一个四等分点,点A、B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点,记直线AD、BC的斜率分别为k1,k2
(1)当点D到两焦点的距离之和为4,直线l⊥x轴时,求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率是
3
2
,且经过点M(2,1),直线y=
1
2
x+m(m<0)
与椭圆相交于A,B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)当m=-1时,求△MAB的面积;
(3)求△MAB的内心的横坐标.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•威海二模)已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为e=
6
3
,过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点,且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点M(0,2),直线l:y=1,过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点,若N为AB的中点,D为N在直线l上的射影,AB的中垂线与y轴交于点P.求证:
ND
MP
AB
2
为定值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点为F,过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点,若|MN|=3,且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根,求椭圆方程.

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