Question

2．已知等差数列{a_n}满足$\frac{si{n}^{2}{a}_{6}co{s}^{2}{a}_{9}-si{n}^{2}{a}_{9}co{s}^{2}{a}_{6}}{sin（{a}_{7}+{a}_{8}）}$=1，公差d∈（-1，0），当且仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，则该数列首项a₁的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{4π}{3}$，$\frac{3π}{2}$）
• B． [$\frac{4π}{3}$，$\frac{3π}{2}$]
• C． （$\frac{7π}{6}$，$\frac{4π}{3}$）
• D． [$\frac{7π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]

Answer 1

分析 由等差数列{a_n}满足$\frac{si{n}^{2}{a}_{6}co{s}^{2}{a}_{9}-si{n}^{2}{a}_{9}co{s}^{2}{a}_{6}}{sin（{a}_{7}+{a}_{8}）}$=1，可得：$\frac{（sin{a}_{6}cos{a}_{9}+cos{a}_{6}sin{a}_{9}）（sin{a}_{6}cos{a}_{9}-cos{a}_{6}sin{a}_{9}）}{sin（{a}_{7}+{a}_{8}）}$=1，利用和差公式、等差数列{a_n}的性质可得：sin（a₆-a₉）=1，即sin（3d）=-1．由d∈（-1，0），可得：3d=$-\frac{π}{2}$，由题意当且仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{9}={a}_{1}+8d＞0}\\{{a}_{10}={a}_{1}+9d＜0}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：由等差数列{a_n}满足$\frac{si{n}^{2}{a}_{6}co{s}^{2}{a}_{9}-si{n}^{2}{a}_{9}co{s}^{2}{a}_{6}}{sin（{a}_{7}+{a}_{8}）}$=1，
可得：$\frac{（sin{a}_{6}cos{a}_{9}+cos{a}_{6}sin{a}_{9}）（sin{a}_{6}cos{a}_{9}-cos{a}_{6}sin{a}_{9}）}{sin（{a}_{7}+{a}_{8}）}$=1，
∴$\frac{sin（{a}_{6}+{a}_{9}）sin（{a}_{6}-{a}_{9}）}{sin（{a}_{7}+{a}_{8}）}$=1，
由等差数列{a_n}的性质可得：a₆+a₉=a₇+a₈，
整理得：sin（a₆-a₉）=1，
∴sin（3d）=-1．∵d∈（-1，0），∴3d∈（-3，0），
则3d=$-\frac{π}{2}$，d=-$\frac{π}{6}$．
由题意当且仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{9}={a}_{1}+8d＞0}\\{{a}_{10}={a}_{1}+9d＜0}\end{array}\right.$，解得：$\frac{4π}{3}$＜a₁$＜\frac{3π}{2}$．
∴首项a₁的取值范围是$（\frac{4π}{3}，\frac{3π}{2}）$．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系、和差公式、不等式的解法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．