Question

14．已知函数f（x）=x（a+lnx）（a∈R）
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值．
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处切线的斜率为3，且2f（x）-（b+1）x+b＞0对任意x＞1都成立，求整数b的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得a=0的f（x）的解析式和导数，单调区间，可得极小值；
（Ⅱ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得a=1，故问题化为$b＜\frac{x+2xlnx}{x-1}$在（1，+∞）上恒成立，令$g（x）=\frac{x+2xlnx}{x-1}（x＞1）$，求出导数，又令h（x）=2x-3-2lnx（x＞1），求出导数，求得h（x）的极值点，可得g（x）的最值点，求得最小值，代入即可得到所求b的范围，可得最大值．

解答 解：（Ⅰ）a=0时，f（x）=xlnx（x＞0），导数为f′（x）=1+lnx，
当x变化时，f′（x）与f（x）变化如下表：

x	$（0，\frac{1}{e}）$	$\frac{1}{e}$	$（\frac{1}{e}，+∞）$
f′（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值	递增

可得当$x=\frac{1}{e}$时，f（x）有极小值$f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）由f′（x）=a+1+lnx，
可得在点（e，f（e））处切线的斜率为a+2=3，求得a=1，
故问题化为$b＜\frac{x+2xlnx}{x-1}$在（1，+∞）上恒成立，
令$g（x）=\frac{x+2xlnx}{x-1}（x＞1）$，则${g^'}（x）=\frac{2x-3-2lnx}{{{{（x-1）}^2}}}（x＞1）$，
又令h（x）=2x-3-2lnx（x＞1），
则${h^'}（x）=\frac{2（x-1）}{x}＞0$在（1，+∞）上恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）递增，
又∵$h（2）=1-2ln2＜0，h（\frac{5}{2}）=2-2ln\frac{5}{2}＞0$，
∴h（x）在（1，+∞）上有唯一零点，设为x₀，则${x_0}∈（2，\frac{5}{2}）$，
且h（x₀）=2x₀-3-2lnx₀=0①，
∴当x∈（1，x₀）时，h（x）＞0；当x∈（x₀，+∞）时，h（x）＜0，
∴当x∈（1，x₀）时，g′（x）＞0；当x∈（x₀，+∞）时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，x₀）上递增，在（x₀，+∞）上递减，
∴g（x）_min=$g（x{\;}_0）=\frac{{{x_0}+2{x_0}ln{x_0}}}{{{x_0}-1}}$，将①代入有$g（x{\;}_0）=\frac{{{x_0}+2{x_0}ln{x_0}}}{{{x_0}-1}}=\frac{{{x_0}+{x_0}（2{x_0}-3）}}{{{x_0}-1}}=2{x_0}∈（4，5）$，
所以b＜g（x₀）∈（4，5），
所以整数b的最大值为4．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，运用导数求得最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．