Question

5．已知函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对于任意的x＞0，y＞0，都有f（xy）=f（x）+f（y），且满足f（2）=1．
（1）求$f（4），f（\frac{1}{2}）$的值；
（2）求满足f（2x）-f（x-3）＞2的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据抽象函数的关系，利用赋值法进行求解．
（2）根据不等式的关系进行等价转化，结合函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（1）∵对于任意的x＞0，y＞0，都有f（xy）=f（x）+f（y），且满足f（2）=1．
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=1+1=2，
f（4×$\frac{1}{2}$）=f（4）+f（$\frac{1}{2}$）=f（2），
即2+f（$\frac{1}{2}$）=1，则f（$\frac{1}{2}$）=-1；
（2）不等式f（2x）-f（x-3）＞2等价为f（2x）＞2+f（x-3）=f（4）+f（x-3）=f（4x-12），
∵函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x＞0}\\{x-3＞0}\\{2x＞4x-12}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞3}\\{x＜6}\end{array}\right.$，即3＜x＜6，
即x的取值范围是（3，6）．

点评 本题主要考查抽象函数的应用以及不等式的求解，利用赋值法是解决抽象函数常用方法，根据抽象函数关系将不等式进行转化是解决本题的关键．