Question

19．已知向量（1，-cosθ）与（sinθ，1）（-$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{π}{2}$）垂直，向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-2，n）（n＞1），$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ．
（1）求$\overrightarrow{b}$；
（2）若$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$同向，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$垂直，求$\overrightarrow{c}$．

Answer 1

分析 （1）根据条件和向量垂直的条件求出θ，根据向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ、向量数量积运算求出n的值，即可求出$\overrightarrow{b}$；
（2）由题意设$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{b}$=（-2λ，6λ）且λ＞0，根据向量的坐标运算、向量垂直的坐标条件列出方程，求出λ的值即可求出$\overrightarrow{c}$．

解答 解：（1）∵向量（1，-cosθ）与（sinθ，1）（-$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{π}{2}$）垂直，
∴sinθ-cosθ=0，则tanθ=1，即θ=$\frac{π}{4}$，
∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-2，n）（n＞1），$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
∴cosθ=cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$，则$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{-2+2n}{\sqrt{5}×\sqrt{4+{n}^{2}}}$，
化简得，3n²-16n-12=0，
解得n=6或$-\frac{2}{3}$（舍去），
∴$\overrightarrow{b}$=（-2，6）；
（2）∵$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$同向，∴设$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{b}$=（-2λ，6λ）且λ＞0，
∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$垂直，∴（1，2）•（-2λ-1，6λ-2）=0，
则-2λ-1+2（6λ-2）=0，解得λ=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{c}$=（-1，3）．

点评 本题考查向量的坐标运算、向量垂直的坐标条件，以及向量的数量积运算，属于中档题．