Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，若对任意的恒成立，求整数的最小值；

（3）求证：当时，.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2；（3）见证明

【解析】

（1）求出原函数的导函数f′（x）（x＞0），讨论a≥0，和a＜0，由f′（x）的正负确定函数的单调性；

（2）a≤0，不满足f（x）≤0恒成立． a>0，由（1）求得函数的最大值，构造函数结合零点存在定理求其最值的范围，求得的最小值

（3）由（2）可知f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0，得到ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞ex﹣x2+2x﹣1．

构造u（x）＝ex﹣x2+2x﹣1（x＞0），利用两次求导证明ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．

（1）解：f（x）＝lnx-ax2+（-a+2）x+1，f′（x）2ax-a+2（x＞0），

①若a≤0，则f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

②若a>0，由f′（x）＞0，得0＜x；由f′（x）＜0，得x．

∴函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；

（2）若a≤0，则f（1）＝-2a+3＞0，∴不满足f（x）≤0恒成立．

若a>0，由（1）可知，函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．

∴，又f（x）≤0恒成立，

∴0，

设g（x）＝lnx+x，则g（）≤0．

∵函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（1）＝1＞0，g（）0，

∴存在唯一的x0∈（），使得g（x0）＝0．

当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0．

∴0x0，解得a≥∈（1,2），

又a∈Z，∴a≥2．

则综上a的最小值为2；

（3）由（2）可知，a＝2时，f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0，

∴lnx＜2x2﹣1，则﹣xlnx＞﹣2x3+x，

∴ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞ex﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1＝ex﹣x2+2x﹣1．

记u（x）＝ex﹣x2+2x﹣1（x＞0），则u′（x）＝ex﹣2x+2．

记h（x）＝ex﹣2x+2，则h′（x）＝ex﹣2，

由h′（x）＝0，得x＝ln2．

当x∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，

∴函数h（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，

．

∴h（x）＞0，即u′（x）＞0，故函数u（x）在（0，+∞）上单调递增．

∴u（x）＞u（0）＝e0﹣1＝0，即ex﹣x2+2x﹣1＞0．

∴ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．