Question

【题目】设椭圆 (a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.

（I）求椭圆的方程；

（II）设直线l： 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若 (O为原点) ，求k的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 或

【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合椭圆的性质可得a=3，b=2．则椭圆的方程为．

（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由题意可得5y1=9y2．由方程组可得．由方程组可得．据此得到关于k的方程，解方程可得k的值为或

详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有，

又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得， ， ，

由，可得ab=6，从而a=3，b=2．

所以，椭圆的方程为．

（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．

由已知有y1>y2>0，故．

又因为，而∠OAB=，故．

由，可得5y1=9y2．

由方程组消去x，可得．

易知直线AB的方程为x+y–2=0，

由方程组消去x，可得．

由5y1=9y2，可得5（k+1）=，

两边平方，整理得，

解得，或．

所以，k的值为或