Question

【题目】已知双曲线=1，P为双曲线右支上除x轴上之外的一点．

（1）若∠F1PF2=θ，求△F1PF2的面积．

（2）若该双曲线与椭圆+y2=1有共同的焦点且过点A（2，1），求△F1PF2内切圆的圆心轨迹方程．

Answer 1

【答案】(1) b2(2) x=（y≠0）.

【解析】

（1）设|PF1|=m，|PF2|=n，运用双曲线的定义和余弦定理，三角形的面积公式，化简可得所求面积；

（2）由内切圆的切线的性质和双曲线的定义，化简可得内心的横坐标为a，求得双曲线的方程，可得所求轨迹方程．

解：（1）∠F1PF2=θ，设|PF1|=m，|PF2|=n，

由双曲线的定义可得m-n=2a，

4c2=m2+n2-2mncosθ=（m-n）2+2mn-2mncosθ=4a2+2mn（1-cosθ），

可得mn=，

则△F1PF2的面积为S=mnsinθ=b2=b2；

（2）如图所示：F1（-c，0）、F2（c，0），

设内切圆与x轴的切点是点H，

PF1、PF2与内切圆的切点分别为A、B，

由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，

由圆的切线长定理知，|PA|=|PB|，

故|AF1|-|BF2|=2a，

即|HF1|-|HF2|=2a，

设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，

故（x +c）-（c-x）=2a，

∴x=a；

该双曲线与椭圆+y2=1有共同的焦点（±，0），

且过点A（2，1），可得a2+b2=3，-=1，

解得a=，b=1，

可得△F1PF2内切圆的圆心轨迹方程为x=（y≠0）．