Question

17．函数y=$\frac{sinxcosx}{1+sinx-cosx}$的值域为[$-\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，-1）∪（-1，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$]．

Answer 1

分析 由分母不为零求出sinx-cosx≠-1，再设t=sinx-cosx，利用两角和的正弦公式化简，求出t的范围，由平方关系表示出sinxcosx，代入解析式化简，再由t的范围和一次函数的单调性，求出原函数的值域．

解答 解：函数y=$\frac{sinxcosx}{1+sinx-cosx}$，
∵分母不能为零，即sinx-cosx≠-1，
设t=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
∴$-\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$，且t≠-1．
则sinx•cosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
可得函数y=$\frac{sinxcosx}{1+sinx-cosx}$=$\frac{\frac{{t}^{2}-1}{2}}{1+t}$=$\frac{1}{2}$（t-1）=$\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}$
根据一次函数的单调性，可得函数y的值域为[$-\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，-1）∪（-1，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$]．
故答案为：[$-\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，-1）∪（-1，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$]．

点评 本题主要考查了“sinx-cosx”和“sinxcosx”的关系，利用平方关系建立关系式，以及换元法求函数的最值问题，注意换元后需要求出未知数的范围．