Question

7．已知函数$f（x）=\frac{{3{x^2}+ax+26}}{x+1}$，若存在x∈N^*使得f（x）≤2成立，则实数a的取值范围为（-∞，-15]．

Answer 1

分析 由题意可得3x²+（a-2）x+24≤0，即有2-a≥$\frac{{3x}^{2}+24}{x}$=3x+$\frac{24}{x}$，运用基本不等式求得到成立的条件，再由x的范围，可得最小值，运用存在性问题的解法，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：f（x）≤2，即为 $\frac{{3x}^{2}+ax+26}{x+1}$≤2，
由x∈N^*，可得3x²+（a-2）x+24≤0，
即有2-a≥$\frac{{3x}^{2}+24}{x}$=3x+$\frac{24}{x}$，
由3x+$\frac{24}{x}$≥2 $\sqrt{3x•\frac{24}{x}}$=12$\sqrt{2}$，
当且仅当x=2$\sqrt{2}$∉N，
由x=2可得6+12=18；x=3时，可得9+8=17，
可得3x+$\frac{24}{x}$的最小值为17，
由存在x∈N^*使得f（x）≤2成立，
可得2-a≥17，
解得a≤-15．
故答案为：（-∞，-15]．

点评 本题考查不等式存在性问题的解法，注意运用参数分离和函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．