Question

2．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，直线y=$\sqrt{2}$与函数f（x）的图象的两个相邻交点的距离为$\frac{π}{2}$，则（　　）

• A． f（x）在（0，$\frac{π}{4}$）上单调递减
• B． f（x）在（$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$）上单调递减
• C． f（x）在（0，$\frac{π}{4}$）上单调递增
• D． f（x）在（$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$）上单调递增

Answer 1

分析 利用辅助角化简函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ$+\frac{π}{4}$）是奇函数，可得φ$+\frac{π}{4}$=kπ，解出φ，直线y=$\sqrt{2}$与函数f（x）的图象的两个相邻交点的距离为$\frac{π}{2}$，可得周期T=$\frac{π}{2}$，求出ω，可得f（x）的解析式，从而判断各选项即可．

解答 解：化简函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ$+\frac{π}{4}$）
∵f（x）是奇函数，
∴φ$+\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z．即φ=k$π-\frac{π}{4}$．
∵0＜φ＜π
∴φ=$\frac{3π}{4}$．
又∵直线y=$\sqrt{2}$与函数f（x）的图象的两个相邻交点的距离为$\frac{π}{2}$，
可得周期T=$\frac{π}{2}$，即$\frac{2π}{ω}=\frac{π}{2}$，
∴ω=4．
∴f（x）的解析式为f（x）=$\sqrt{2}$sin（4x+$\frac{3π}{4}$），
令2kπ$-\frac{π}{2}≤$4x+$\frac{3π}{4}$$≤\frac{π}{2}$+2kπ，单调递增．
可得：$\frac{1}{2}kπ$$-\frac{5π}{16}≤x≤-\frac{π}{16}$+$\frac{1}{2}kπ$，k∈Z．
∴C选项对．D选项不对．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{3π}{4}$$≤\frac{3π}{2}$+2kπ，单调递减．
可得：$\frac{1}{2}kπ$$-\frac{π}{16}≤x≤\frac{3π}{16}$$+\frac{1}{2}kπ$，k∈Z．
∴A，B选项不对．
故选C．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．