Question

13．用向量法证明以下各题：
（1）三角形三条中线共点；
（2）P是△ABC重心的充要条件是$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的三角形法则和共线原理证明其中两中线的交点在第三条中线上即可；
（2）根据向量的共线原理证明P在三条中线上即可．

解答 （1）证明：在△ABC中，设D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，BE与AD的交点为G，
设$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{{e}_{2}}$，则$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，
$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$-$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
设$\overrightarrow{BG}$=λ$\overrightarrow{BE}$，则$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{BG}$-$\overrightarrow{BA}$=λ$\overrightarrow{BE}$-$\overrightarrow{BA}$=（$\frac{λ}{2}$-1）$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{λ}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∵$\overrightarrow{AG}$，$\overrightarrow{AD}$共线，∴$\frac{-1}{\frac{λ}{2}-1}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{λ}{2}}$，解得λ=$\frac{2}{3}$．
∴$\overrightarrow{CG}$=$\overrightarrow{BG}$-$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{BF}-\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{CG}$．
∴CG与CF共线，G在CF上，
∴三角形三条中线交与一点．
（2）证明：设D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，
①若P是△ABC的重心，∴AP=2PD，即$\overrightarrow{PA}$=-2$\overrightarrow{PD}$，
又D是BC的中点，∴$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PD}$，
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$．
②若$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=-$\overrightarrow{PA}$．
又D是BC的中点，∴$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PD}$，
∴$\overrightarrow{PA}=-2\overrightarrow{PD}$，即P在中线AD上，
同理可证P在中线BE上，P在CF上，
∴P是三角形的重心．
综上，P是△ABC重心的充要条件是$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$．

点评 本题考查了平面向量在几何证明中的应用，属于中档题．