Question

19．河南多地遭遇年霾，很多学校调整元旦放假时间，提前放假让学生们在家躲霾．郑州市根据《郑州市人民政府办公厅关于将重污染天气黄色预警升级为红色预警的通知》，自12月29日12时将黄色预警升级为红色预警，12月30日0时启动Ⅰ级响应，明确要求“幼儿园、中小学等教育机构停课，停课不停学”．学生和家长对停课这一举措褒贬不一，有为了健康赞成的，有怕耽误学习不赞成的，某调查机构为了了解公众对该举措的态度，随机调查采访了50人，将调查情况整理汇总成如表：

年龄（岁）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75]
频数	5	10	15	10	5	5
赞成人数	4	6	9	6	3	4

（Ⅰ）请在图中完成被调查人员年龄的频率分布直方图；
（Ⅱ）若从年龄在[25，35），[65，75]两组采访对象中各随机选取2人进行深度跟踪调查，选中4人中不赞成这项举措的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频数分布表求出年龄在[35，45）的频率，从而求出对应的小矩形的高，由此能补全频率分布直方图．
（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由频数分布表知：
年龄在[35，45）的频率为：$\frac{15}{50}$=0.3，对应的小矩形有高为$\frac{0.3}{10}$=0.03，
补全频率分布直方图如图所示：

（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，1，2，3，
$P（{X=0}）=\frac{C_4^2}{C_5^2}•\frac{C_6^2}{{C_{10}^2}}$=$\frac{90}{450}=\frac{1}{5}$，
$P（{X=1}）=\frac{C_4^1}{C_5^2}•\frac{C_6^2}{{C_{10}^2}}+$$\frac{C_4^2}{C_5^2}•\frac{C_4^1C_6^1}{{C_{10}^2}}=\frac{204}{450}=\frac{34}{75}$，
$P（{X=2}）=\frac{C_4^1}{C_5^2}•\frac{C_4^1C_6^1}{{C_{10}^2}}+$$\frac{C_4^2}{C_5^2}•\frac{C_4^2}{{C_{10}^2}}=\frac{132}{450}=\frac{22}{75}$，
$P（{X=3}）=\frac{C_4^1}{C_5^2}•\frac{C_4^2}{{C_{10}^2}}$=$\frac{24}{450}=\frac{4}{75}$，
故X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{15}{75}$	$\frac{34}{75}$	$\frac{22}{75}$	$\frac{4}{75}$

所以X的数学期望为$E（X）=0×\frac{15}{75}+1×\frac{34}{75}$$+2×\frac{22}{75}+3×\frac{4}{75}=1.2$．

点评 本题考查考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．