Question

9．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率．祖冲之，在世界数学史上第一次将圆周率（π）值计算到小数点后的第7位，即3.1415926到3.1415927之间，数列{a_n}是公差大于0的等差数列，其前三项是“31415926”中连续的三个数，数列{b_n}是等比数列，其公比大于1的正整数且前三项是“31415926”中的三个数，且a₃=b₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{32}{（{a}_{n}+3）•（{a}_{n+2}+3）}，n=2k-1（k∈N*）}\\{lo{g}_{3}{b}_{n+1}，n=2k（k∈N*）}\end{array}\right.$，求c₁+c₂+c₃+…+c${\;}_{{2}^{n}}$．（n∈N*）

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过题干确定数列{a_n}、{b_n}的前三项，进而可得结论；
（Ⅱ）通过（I）可求出c_n的表达式，利用裂项相消法可知奇数项的和，利用分组求和法可求出偶数项的和，进而相加即得结论．

解答 解：（Ⅰ）由题可知a₁=1，a₂=5，a₃=9，
b₁=4，b₂=6，b₃=9，
所以a_n=1+4（n-1）=4n-3，b_n=4×$（{\frac{3}{2}）}^{n-1}$；
（Ⅱ）由（I）可知c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{32}{4n•4（n+2）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}&{，n=2k-1}\\{lo{g}_{3}\frac{{3}^{n}}{{2}^{n-2}}=n-（n-2）lo{g}_{3}2}&{，n=2k}\end{array}\right.$，
则c₁+c₃+…+${c}_{{2}^{n}-1}$=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$，
c₂+c₄+…+${c}_{{2}^{n}}$=（2+4+…+2ⁿ）-[（2-2）+（4-2）+（6-2）+…+（2ⁿ-2）]log₃2
=$\frac{{2}^{n-1}（2+{2}^{n}）}{2}$-[$\frac{{2}^{n-1}（2+{2}^{n}）}{2}$-2ⁿ]log₃2
=2^n-1+2^2n-2-（2^2n-2-2^n-1）log₃2，
故所求值为1-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$+2^n-1+2^2n-2-（2^2n-2-2^n-1）log₃2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，考查分组求和法，考查对数的运算性质，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．