Question

18．设数列{a_n}（n≥1，n∈N）满足a₁=2，a₂=6，且（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则[$\frac{2017}{{a}_{1}}$+$\frac{2017}{{a}_{2}}$+…+$\frac{2017}{{a}_{2017}}$]=2016．

Answer 1

分析 数列{a_n}（n≥1，n∈N）满足a₁=2，a₂=6，且（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，可得数列{a_n+1-a_n}是等差数列，因此a_n+1-a_n=2n+2．再利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁可得：a_n=n（n+1），$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}（n≥1，n∈N）满足a₁=2，a₂=6，且（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，
∴数列{a_n+1-a_n}是等差数列，公差为2，首项为4．
∴a_n+1-a_n=4+2（n-1）=2n+2．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2（n-1）+2（n-2）+…+2+2（n-1）+2
=$2×\frac{n（n-1）}{2}$+2n-2+2=n²+n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$．
∴[$\frac{2017}{{a}_{1}}$+$\frac{2017}{{a}_{2}}$+…+$\frac{2017}{{a}_{2017}}$]=$[2017（1-\frac{1}{2018}）]$=$[2016+\frac{1}{2018}]$=2016．
故答案为：2016．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、累加求和与裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．