Question

1．如图1为某市2017年2月28天的日空气质量指数折线图．

由中国空气质量在线监测分析平台提供的空气质量指数标准如下：

空气质量指数	（0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，300]	300以上
空气质量等级	1级优	2级良	3级轻度污染	4级中度污染	5级重度污染	6级严重污染

（Ⅰ）请根据所给的折线图补全如图2所示的频率分布直方图（并用铅笔涂黑矩形区域），并估算该市2月份空气质量指数监测数据的平均数（保留小数点后一位）；
（Ⅱ）在该月份中任取两天，求空气质量至少有一天为优或良的概率；
（Ⅲ）如果该市对环境进行治理，治理后经统计，每天的空气质量指数近似满足X～N（75，55²），则治理后的空气质量指数均值大约下降了多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由折线图知空气质量指数分别为（0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]的频数分别为2，16，8，2，由此求出各小矩形的高，从而能补全频率分布直方图，由此能求出该市2月份空气质量指数监测数据的平均数值．
（Ⅱ）该月份该市空气质量为优的有2天，空气质量为良的有16天，由此能求出任取两天至少有一天空气质量为优或良的概率．
（Ⅲ）由已知，该市对环境进行治理，空气质量的均值为E（X）=75，由此能求出该市治理后的空气质量指数大约下降了多少．

解答 解：（Ⅰ）由折线图知空气质量指数分别为（0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]的频数分别为2，16，8，2，
∴各组对应的频率分布为$\frac{1}{14}，\frac{4}{7}，\frac{2}{7}，\frac{1}{14}$，
∴各小矩形的高分别为$\frac{1}{700}，\frac{8}{700}，\frac{4}{700}，\frac{1}{700}$，
∴补全频率分布直方图，如下图：

该市2月份空气质量指数监测数据的平均数值为：
$\frac{1}{14}×25+\frac{4}{7}×75+\frac{2}{7}×125+\frac{1}{14}×175$≈92.9．
（Ⅱ）该月份该市空气质量为优的有2天，空气质量为良的有16天，
则任取两天至少有一天空气质量为优或良的概率为p=1-$\frac{{C}_{10}^{2}}{{C}_{28}^{2}}$=$\frac{37}{42}$．
（Ⅲ）由已知，该市对环境进行治理，
该市对环境进行治理，治理后经统计，每天的空气质量指数近似满足X～N（75，55²），
空气质量的均值为E（X）=75，
92.9-75=17.9，
故该市治理后的空气质量指数下降了17.9．

点评 本题考查频率分布直方图、折线图、概率等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是基础题．