Question

16．随着社会发展，襄阳市在一天的上下班时段也出现了堵车严重的现象．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有5个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段（T≥3 ），从襄阳市交通指挥中心随机选取了一至四马路之间50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：
（I）据此直方图估算交通指数的中位数和平均数；
（II）据此直方图求出早高峰一至四马路之间的3个路段至少有2个严重拥堵的概率是多少？
（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人用时间的数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图能估算交通指数的中位数和平均数．
（Ⅱ）设事件A为“1条路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，由此能求出3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率．
（Ⅲ）由题意，求出所用时间X的分布列，由此能求出此人上班路上所用时间的数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由直方图知：T∈[3，5）时，频率为0.1+0.20=0.30，
T∈[5，6）时，频率为0.24，
∴交通指数的中位数为 5+1×$\frac{0.5-0.3}{0.24}$=$\frac{35}{6}$．…（2分）
交通指数的平均数为：4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16=4.72．…（4分）
（Ⅱ）设事件A为“1条路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，
则3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为：
P=C₃²×（$\frac{1}{10}$）²×（1-$\frac{1}{10}$）+C₃³×（$\frac{1}{10}$）³=$\frac{7}{250}$，
所以3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为$\frac{7}{250}$．…（8分）
（Ⅲ）由题意，所用时间X的分布列如下表：

X	30	35	45	60
P	0.1	0.44	0.36	0.1

则E（X）=30×0.1+35×0.44+45×0.36+60×0.1=40.6，
所以此人上班路上所用时间的数学期望是40.6分钟．…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．