Question

6．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{3}{2}$（a_n-1），数列{b_n}满足b_n+2=2b_n+1-b_n，且b₆=a₃，b₆₀=a₅，其中n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=（-1）ⁿb_nb_n+1，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）S_n=$\frac{3}{2}$（a_n-1），可得n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n=3a_n-1．n=1时，a₁=$\frac{3}{2}（{a}_{1}-1）$，解得a₁．利用等比数列的通项公式可得a_n．b₆=a₃=3³=27，b₆₀=a₅=3⁵．数列{b_n}满足b_n+2=2b_n+1-b_n，即b_n+2+b_n=2b_n+1，利用等差数列通项公式即可得出．
（II）c_n=（-1）ⁿb_nb_n+1=（-1）ⁿ（4n+3）（4n+7）．计算c_2k-1+c_2k，对n分类讨论即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=$\frac{3}{2}$（a_n-1），∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$（a_n-1）-$\frac{3}{2}（{a}_{n-1}-1）$，化为：a_n=3a_n-1．
n=1时，a₁=$\frac{3}{2}（{a}_{1}-1）$，解得a₁=3．
∴数列{a_n}是等比数列，首项与公比都为3．
∴a_n=3ⁿ．
b₆=a₃=3³=27，b₆₀=a₅=3⁵．
数列{b_n}满足b_n+2=2b_n+1-b_n，即b_n+2+b_n=2b_n+1，
∴数列{b_n}是等差数列，设公差为d，则b₁+5d=27，b₁+59d=243．
联立解得b₁=7，d=4．
∴b_n=7+4（n-1）=4n+3．
（II）c_n=（-1）ⁿb_nb_n+1=（-1）ⁿ（4n+3）（4n+7）．
c_2k-1+c_2k=-（8k-1）（8k+3）+（8k+3）（8k+7）=48k+18．
∴n=2k（k∈N^*）时，数列{c_n}的前n项和T_n=T_2k=（c₁+c₂）+（c₃+c₄）+…+（c_2k-1+c_2k）
=48×（1+2…+k）+18k=$48×\frac{k（1+k）}{2}$+18k=24k²+42k=6n²+21n．
n=2k-1时，T_2k-1=T_2k-2+c_2k-1=6（n-1）²+21（n-1）-（8k-1）（8k+3）=6（n-1）²+21（n-1）-（4n+3）（4n+7）=-10n²-31n-36．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{6{n}^{2}+21n，n为偶数}\\{-10{n}^{2}-31n-36，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、分类讨论方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．