Question

17．已知O是坐标原点，双曲线${x^2}-\frac{y^2}{n^2}=1（{n＞0}）$的两条渐近线分别为l₁，l₂，右焦点为F，以OF为直径的圆交l₁于异于原点O的点A，若点B在l₂上，且$\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AF}$，则双曲线的方程为（　　）

• A． ${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$
• B． ${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$
• C． ${x^2}-\frac{y^2}{5}=1$
• D． ${x^2}-\frac{y^2}{6}=1$

Answer 1

分析 求出双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程和圆的方程，联立方程求出A，B的坐标，结合点B在渐近线y=-$\frac{b}{a}$x上，建立方程关系求得A的坐标，设B（m，n），运用向量的坐标关系，结合B在渐近线上，可得a，c的关系，再由a=1，即可得到c，b，进而得到所求双曲线的方程．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程
l₁，y=$\frac{b}{a}$x，l₂，y=-$\frac{b}{a}$x，
F（c，0），
圆的方程为（x-$\frac{c}{2}$）²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$，将y=$\frac{b}{a}$x代入圆的方程，
得（x-$\frac{c}{2}$）²+（$\frac{b}{a}$x）²=$\frac{{c}^{2}}{4}$，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$x²=cx，则x=0或x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
当x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，y═$\frac{b}{a}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{ab}{c}$，即A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
设B（m，n），则n=-$\frac{b}{a}$•m，
则$\overrightarrow{BA}$=（$\frac{{a}^{2}}{c}$-m，$\frac{ab}{c}$-n），$\overrightarrow{AF}$=（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$），
∵$\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AF}$，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{{a}^{2}}{c}$-m，$\frac{ab}{c}$-n）=（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$），
则$\frac{{a}^{2}}{c}$-m=2（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$），$\frac{ab}{c}$-n=2•（-$\frac{ab}{c}$），
即m=$\frac{3{a}^{2}}{c}$-2c，n=$\frac{3ab}{c}$，
即$\frac{3ab}{c}$=-$\frac{b}{a}$•（$\frac{3{a}^{2}}{c}$-2c）=-$\frac{3ab}{c}$+$\frac{2bc}{a}$，
即$\frac{6ab}{c}$=$\frac{2bc}{a}$，
则c²=3a²，
由双曲线${x^2}-\frac{y^2}{n^2}=1（{n＞0}）$可得a=1，c=$\sqrt{3}$，b=n=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$．
则双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
故选：B．

点评 本题主要考查双曲线方程的求法，注意运用渐近线方程和圆的方程联立，根据条件建立方程关系，求出交点坐标，转化为a，b，c的关系是解决本题的关键．考查学生的计算能力．