Question

9．设集合$A=\left\{{（{x，y}）|{{（{x-3}）}^2}+{{（{y-4}）}^2}=\frac{4}{5}}\right\}，B=\left\{{（{x，y}）|{{（{x-3}）}^2}+{{（{y-4}）}^2}=\frac{36}{5}}\right\}$，C={（x，y）|2|x-3|+|y-4|=λ}，若（A∪B）∩C≠ϕ，则实数λ的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，2}]∪[{\frac{{6\sqrt{5}}}{5}，6}]$
• B． $[{\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，6}]$
• C． $[{\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，2}]∪[{4，6}]$
• D． $\left\{2\right\}∪[{\frac{{6\sqrt{5}}}{5}，6}]$

Answer 1

分析 集合A、B是表示以（3，4）点为圆心，半径为$\frac{2}{\sqrt{5}}$和$\frac{6}{\sqrt{5}}$的同心圆；
集合C在λ＞0时表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形；
结合题意画出图形，利用图形知（A∪B）∩C≠∅，
是菱形与A或B圆有交点，从而求得实数λ的取值范围．

解答 解：集合A={（x，y）|（x-3）²+（y-4）²=$\frac{4}{5}$}表示以（3，4）点为圆心，半径为$\frac{2}{\sqrt{5}}$的圆；
集合B={（x，y）|（x-3）²+（y-4）²=$\frac{36}{5}$}表示以（3，4）点为圆心半径为$\frac{6}{\sqrt{5}}$的圆；
集合C={（x，y）|2|x-3|+|y-4|=λ}，
∴当x≥3，y≥4时，2|x-3|+|y-4|=λ化为2x+y-10-λ=0；
当x≥3，y＜4时，2|x-3|+|y-4|=λ化为2x-y-2-λ=0；
当x＜3，y＜4时，2|x-3|+|y-4|=λ化为2x+y-10+λ=0；
当x＜3，y≥4时，2|x-3|+|y-4|=λ化为2x-y-2+λ=0；
∴在λ＞0时，表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形，
如下图所示：

若（A∪B）∩C≠∅，则菱形与A或B圆有交点，
当λ＜$\frac{2}{\sqrt{5}}$时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；
当菱形与小圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x-3|+|y-4|=λ任一边的距离等于大于半径$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y-（10+λ）=0，
由d=$\frac{|10-（10+λ）|}{\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$得：λ=2；
当2＜λ＜$\frac{6}{\sqrt{5}}$时，菱形在大圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；
当菱形与大圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x-3|+|y-4|=λ任一边的距离等于大于半径$\frac{6}{\sqrt{5}}$，
当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y-（10+λ）=0，
由d=$\frac{|10-（10+λ）|}{\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}}$=$\frac{6}{\sqrt{5}}$得：λ=6，
故λ＞6时，两圆均在菱形内部，与菱形无交点，不满足答案；
综上实数λ的取值范围是[$\frac{2}{\sqrt{5}}$，2]∪[$\frac{6}{\sqrt{5}}$，6]，即[$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，2]∪[$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，6]．
故选：A．

点评 本题考查了集合的基本运算问题，也考查了直线与圆的应用问题，是综合题．