Question

7．已知数列{a_n}各项均为正数，a₁=$\frac{1}{2}$，对任意的n∈N^*，有a_n+1=a_n+$\frac{1}{2016}$a_n²，若a_n＞1，则n的最小值为2018．

Answer 1

分析 a_n+1=a_n+$\frac{1}{2016}$a_n²，a₁=$\frac{1}{2}$，可得a_n+1＞a_n＞0．可得：$\frac{1}{{a}_{n}+2016}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，可得$\frac{1}{{a}_{1}+2016}$+$\frac{1}{{a}_{2}+2016}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}+2016}$=2-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，通过放缩可得：2-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$＜$\frac{n}{{a}_{1}+2016}$，当n=2016时，得a₂₀₁₇＜1.2-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$＞$\frac{n}{{a}_{n}+2016}$．当n=2017时，得
a₂₀₁₈＞1．即可得出．

解答 解：∵a_n+1=a_n+$\frac{1}{2016}$a_n²，a₁=$\frac{1}{2}$，∴a_n+1＞a_n＞0．
∴$\frac{1}{{a}_{n}+2016}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}+2016}$+$\frac{1}{{a}_{2}+2016}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}+2016}$=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=2-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴2-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$＜$\frac{n}{{a}_{1}+2016}$．
当n=2016时，2-$\frac{1}{{a}_{2017}}$＜$\frac{2016}{\frac{1}{2}+2016}$＜1，得a₂₀₁₇＜1．
2-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$＞$\frac{n}{{a}_{n}+2016}$．
当n=2017时，2-$\frac{1}{{a}_{2018}}$＞$\frac{2017}{{a}_{2017}+2016}$＞1，得a₂₀₁₈＞1．
因此存在n，使得a_n＞1，且n的最小值为2018．
故答案为：2018．

点评 本题考查了数列递推关系、放缩方法、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．