Question

2．已知焦点为F的抛物线y²=2px（p＞0）上有一点$A（{m，2\sqrt{2}}）$，以A为圆心，|AF|为半径的圆被y轴截得的弦长为$2\sqrt{7}$，则m=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 运用点满足抛物线的方程可得p（由m表示），运用抛物线的定义可得|AF|，即圆的半径，运用圆的弦长公式，解方程可得m的值．

解答 解：由$A（m，\;\;2\sqrt{2}）$在抛物线y²=2px上，
∴2pm=8，∴$p=\frac{4}{m}$，
∴抛物线的焦点$F（{\frac{p}{2}，\;\;0}）$，即$F（{\frac{2}{m}，\;\;0}）$，准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
由抛物线的定义可知$|AF|=m+\frac{p}{2}=m+\frac{2}{m}$，
即圆A的半径$r=m+\frac{2}{m}$．
∵A到y轴的距离d=m，
∴${r^2}-{d^2}={（\sqrt{7}）^2}$，
即${（{m+\frac{2}{m}}）^2}-{m^2}=7$，解得$m=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
故选D．

点评 本题考查抛物线的定义和方程的运用，直线和圆相交的弦长公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．