Question

10．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，（α为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为$ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ+3=0$．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）设P为曲线C上一点，Q为直线l上一点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由曲线C的参数方程先求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．
（2）先求出直线l的直角坐标方程，设p（$\sqrt{2}cosα$，sinα），求出点P到直线l的距离，由此利用三角函数能求出|PQ|的最小值．

解答 解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，（α为参数），
∴曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，
∴曲线C的极坐标方程为ρ²（1+sin²θ）=2．
（2）∵直线l的极坐标方程为$ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ+3=0$．
∴直线l的直角坐标方程为x-$\sqrt{2}y$+3=0．
∵P为曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$上一点，∴设p（$\sqrt{2}cosα$，sinα），
点P到直线l的距离：d=$\frac{|\sqrt{2}cosα-\sqrt{2}sinα+3|}{\sqrt{1+2}}$=$\frac{|2sin（α+\frac{3π}{4}）+3|}{\sqrt{3}}$，
∵P为曲线C上一点，Q为直线l上一点，
∴当sin（$α+\frac{3π}{4}$）=-1时，|PQ|取最小值d_min=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．