Question

20．函数f（x）=|sinx|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有三个交点，设三个交点中横坐标的最大值为θ，则$\frac{{（1+{θ^2}）sin2θ}}{θ}$=2．

Answer 1

分析 利用导函数求解出切线方程，设出切点为（θ，-sinθ），π＜θ＜$\frac{3π}{2}$，求出f（x）=sinx的导函数，斜率k相等，可得θ的值．即可求解．

解答 解：函数f（x）=|sinx|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有三个交点，
设出切点为（θ，-sinθ），π＜θ＜$\frac{3π}{2}$，
则f（x）=sinx的导函数f′（x）=-cosx，
∴f′（θ）=-cosθ=$-\frac{sinθ}{θ}$，
可得：θ=tanθ，
sin2θ=2sinθcosθ．
则$\frac{{（1+{θ^2}）sin2θ}}{θ}$=$\frac{（1+ta{n}^{2}θ）sin2θ}{tanθ}$=$\frac{sin2θ+\frac{sinθ•sinθ}{cosθ•cosθ}×2sinθcosθ}{\frac{sinθ}{cosθ}}$=2sin²θ+2cos²θ=2．
故答案为2．

点评 本题考查了导函数的几何意义的运用．属于中档题．