Question

15．已知函数$f（x）=4{sin^2}（{\frac{π}{4}+x}）-2\sqrt{3}cos2x-1$，且给定条件p：“$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$”，条件q：“|f（x）-m|＜2”，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （3，5）
• B． [3，5]
• C． （2，4）
• D． [2，4]

Answer 1

分析 利用和差公式倍角公式可得：函数$f（x）=4{sin^2}（{\frac{π}{4}+x}）-2\sqrt{3}cos2x-1$=4$sin（2x-\frac{π}{3}）$+1．条件p：“$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$”，可得：$2x-\frac{π}{3}$∈$[\frac{1}{2}，1]$，可得f（x）∈[3，5]．条件q：“|f（x）-m|＜2”，化为f（x）-2＜m＜f（x）+2．根据p是q的充分不必要条件，即可得出．

解答 解：函数$f（x）=4{sin^2}（{\frac{π}{4}+x}）-2\sqrt{3}cos2x-1$=$2（1-cos（\frac{π}{2}+2x））$-2$\sqrt{3}$cos2x-1=2sin2x-2$\sqrt{3}$cos2x+1=4$sin（2x-\frac{π}{3}）$+1．
条件p：“$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$”，可得：$2x-\frac{π}{3}$∈$[\frac{1}{2}，1]$，∴f（x）∈[3，5]．
条件q：“|f（x）-m|＜2”，∴f（x）-2＜m＜f（x）+2．
若p是q的充分不必要条件，则5-2＜m＜3+2，即3＜m＜5．
实数m的取值范围是（3，5）．
故选：A．

点评 本题考查了和差公式倍角公式、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．