Question

8．已知单位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$满足$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{{e}_{2}}$上的投影为$\frac{1}{2}$，则向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 设向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为θ，根据投影的定义即可求出cosθ=$\frac{1}{2}$，问题得以解决

解答 解：设向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为θ，
∵$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{{e}_{2}}$上的投影为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{{e}_{2}}}{|\overrightarrow{{e}_{2}}|}$=（3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$-${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=3×1×1×cosθ-1=$\frac{1}{2}$，
∴cosθ=$\frac{1}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{π}{3}$，
故答案为：$\frac{π}{3}$

点评 考查单位向量及投影的定义，数量积的运算及计算公式．