Question

6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足$\sqrt{3}a=b（sinC+\sqrt{3}cosC）$．
（1）求∠ABC；
（2）若$∠A=\frac{π}{3}$，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦函数公式及三角形内角和定理化简已知可得tanB=$\sqrt{3}$，由B∈（0，π），即可求得B的值．
（2）由已知利用余弦定理可求BC²=5-4cosD．利用三角形面积公式可求S△ABC=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$-$\sqrt{3}$cosD，
S△BDC=sinD，根据三角函数恒等变换的应用可得S四边形ABDC=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2sin（D-$\frac{π}{3}$），利用正弦函数的图象和性质可求其最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$\sqrt{3}a=b（sinC+\sqrt{3}cosC）$．
∴由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinA=sinBsinC+$\sqrt{3}$sinBcosC，…（2分）
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB，
∴可得：$\sqrt{3}$sinBcosC+$\sqrt{3}$sinCcosB=sinBsinC+$\sqrt{3}$sinBcosC，
可得：$\sqrt{3}$sinCcosB=sinBsinC，
∵sinC≠0，解得sinB=$\sqrt{3}$cosB，即：tanB=$\sqrt{3}$，
∴由B∈（0，π），可得：B=$\frac{π}{3}$． …（6分）
（2）在△BCD中，DB=2，DC=1，
∴BC²=1²+2²-2×1×2×cosD=5-4cosD． …（7分）
又$∠A=\frac{π}{3}$，由（1）可知△ABC为等边三角形，…（8分）
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BC²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（5-4cosD）=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$-$\sqrt{3}$cosD，…（9分）
又∵S_△BDC=$\frac{1}{2}×BD×CD×sinD$=sinD，…（10分）
∴S_{四边形ABDC}=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$-$\sqrt{3}$cosD+sinD=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2sin（D-$\frac{π}{3}$）．    …（11分）
∴当D=$\frac{5π}{6}$时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识的应用，考查了运算求解能力，考查了化归与转化思想，属于中档题．