Question

14．设椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的长轴长为6，离心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E标准方程；
（Ⅱ）如图，若分别过椭圆E的左右焦点F₁，F₂的动直线l₁，l₂相交于P点，与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k₁、k₂、k₃、k₄满足k₁+k₂=k₃+k₄．是否存在定点M、N，使得|PM|+|PN|为定值．存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a=3，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，b²=a²-c²=3，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）分类讨论，设直线l₁，l₂的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式分别求得k₁、k₂、k₃、k₄，由k₁+k₂=k₃+k₄．即可求得直线的l₁，l₂斜率的乘积m₁m₂=-$\frac{1}{2}$，根据斜率公式P点坐标，求得出M、N点坐标；

解答 解：（Ⅰ）由2a=6，则a=3，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，则c=$\sqrt{6}$，b²=a²-c²=3，
∴椭圆标准方程$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$
（Ⅱ）${F_1}（{-\sqrt{6}，0}）$，${F_2}（{\sqrt{6}，0}）$，当直线l₁或l₂斜率不存在时，P点坐标为$（{-\sqrt{6}，0}）$或$（{\sqrt{6}，0}）$
当直线l₁、l₂斜率存在时，设斜率分别为m₁，m₂．
∴l₁的方程为$y={m_1}（{x+\sqrt{6}}）$，l₂的方程为$y={m_2}（{x-\sqrt{6}}）$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
联立$\left\{\begin{array}{l}y={m_1}（{x+\sqrt{6}}）\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得到$（{1+3m_1^2}）{x^2}+6\sqrt{6}$$m_1^2x+18m_1^2-9=0$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{-6\sqrt{6}m_1^2}}{1+3m_1^2}$，${x_1}{x_2}=\frac{18m_1^2-9}{1+3m_1^2}$，
同理${x_3}+{x_4}=\frac{{6\sqrt{6}m_2^2}}{1+3m_2^2}$，${x_3}{x_4}=\frac{18m_2^2-9}{1+3m_2^2}$．
∵${k_1}=\frac{y_1}{x_1}=\frac{{{m_1}（{{x_1}+\sqrt{6}}）}}{x_1}$=${m_1}+\frac{{\sqrt{6}{m_1}}}{x_1}$，${k_2}=\frac{y_2}{x_2}={m_1}+\frac{{\sqrt{6}{m_1}}}{x_2}$，${k_3}=\frac{y_3}{x_3}={m_2}-\frac{{\sqrt{6}{m_2}}}{x_3}$，${k_4}=\frac{y_4}{x_4}={m_2}-\frac{{\sqrt{6}{m_2}}}{x_4}$
又满足k₁+k₂=k₃+k₄．$2{m_1}+\frac{{\sqrt{6}{m_1}（{{x_1}+{x_2}}）}}{{{x_1}{x_2}}}$=$2{m_2}-\frac{{\sqrt{6}{m_2}（{{x_3}+{x_4}}）}}{{{x_3}{x_4}}}⇒$$2{m_1}+\frac{{\sqrt{6}{m_1}（{-6\sqrt{6}m_1^2}）}}{18m_1^2-9}$，
=$2{m_2}-\frac{{\sqrt{6}{m_2}•6\sqrt{6}m_2^2}}{18m_2^2-9}$$⇒{m_1}{m_2}=-\frac{1}{2}$，
设点P（x，y），则$\frac{y}{{x+\sqrt{6}}}•\frac{y}{{x-\sqrt{6}}}=-\frac{1}{2}$$⇒\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$，（$x≠±\sqrt{6}$），
由当直线l₁或l₂斜率不存在时，P点坐标为$（{-\sqrt{6}，0}）$或$（{\sqrt{6}，0}）$也满足，
∴点P在椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$上，则存在点M、N其坐标分别为$（{-\sqrt{3}，0}）$、$（{\sqrt{3}，0}）$，使得$|{PM}|+|{PN}|=2\sqrt{6}$为定值．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于难题．