Question

19．函数$f（x）={e^2}x+\frac{1}{x}，g（x）=\frac{ex}{{{e^{x-1}}}}$，对任意x₁，x₂∈（0，+∞），不等式（k+1）g（x₁）≤kf（x₂）（k＞0）恒成立，则实数k的取值范围是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． （2，+∞]
• C． （0，2）
• D． （0，1]

Answer 1

分析 利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，f（x）的最小值，得到关于k的不等式，解出即可．

解答 解：∵当x＞0时，f（x）=e²x+$\frac{1}{x}$≥2 $\sqrt{{e}^{2}x•\frac{1}{x}}$=2e，
∴x₁∈（0，+∞）时，函数f（x₂）有最小值2e，
∵g（x）=$\frac{ex}{{e}^{x-1}}$，∴g′（x）=$\frac{{e}^{2}（1-x）}{{e}^{x}}$，
当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，
当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，
∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，
则有x₁、x₂∈（0，+∞），f（x₂）_min=2e＞g（x₁）_max=e
∵（k+1）g（x₁）≤kf（x₂）（k＞0），
∴$\frac{g{（x}_{1}）}{k}$≤$\frac{f{（x}_{2}）}{k+1}$恒成立且k＞0，$\frac{e}{k}$≤$\frac{2e}{k+1}$，
∴k≥1
故选：A．

点评 本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，导数在函数的单调性，最值求解中的应用是解答本题的另一重要方法，函数的恒成立问题的转化，本题具有一定的难度．