Question

7．若函数$f（x）={log_a}（{x^3}-ax）（a＞0且a≠1）在区间（-\frac{1}{3}，0）$内单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{2}{3}，1）$
• B． $[\frac{1}{3}，1）$
• C． $[\frac{1}{3}，1）∪（1，3]$
• D． （1，3]

Answer 1

分析 利用导函数讨论内层函数的单调性，根据复合函数的单调性判断即可得结论．

解答 解：由题意，函数$f（x）={log_a}（{x^3}-ax）（a＞0且a≠1）在区间（-\frac{1}{3}，0）$内单调递增，
∵y=x³-ax=x（x²-a），y＞0，a＞0，
∴函数y的零点为0，$-\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$．
则y′=3x²-a，
令y′=0，
可得${x}_{1}=\sqrt{\frac{a}{3}}$，${x}_{2}=-\sqrt{\frac{a}{3}}$．
∴函数y=x³-ax（y＞0）的单调增区间为[$-\sqrt{a}$，$-\sqrt{\frac{a}{3}}$]和[$\sqrt{a}$，+∞）．
单调减区间为[$-\sqrt{\frac{a}{3}}$，0]．
当0＜a＜1时，（-$\frac{1}{3}$，0）⊆[$-\sqrt{\frac{a}{3}}$，0]．即：$-\sqrt{\frac{a}{3}}$$≤-\frac{1}{3}$，
可得：$a≥\frac{1}{3}$．
∴实数a的取值范围是[$\frac{1}{3}$，1）．
故选B．

点评 本题考查了复合函数的单调性“同增异减”判断零点问题以及利用导函数讨论单调性．属于中档题．