Question

关于函数f（x）=sin2x+

3

cos2x有下列命题：
①y=f（x）的最大值为2；
②x=

13π

12

是y=f（x）的一条对称轴；
③（

π

8

，0）是y=f（x）的一个对称中心；
④将y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位，可得到y=2sin2x的图象，
其中正确的命题序号是

 

．（把你认为正确命题的序号都写上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用三角恒等变换可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），
①利用正弦函数的最值可判断①；
②利用正弦函数的对称性可判断②与③；
④利用三角函数的图象变换可判断④．

解答： 解：f（x）=sin2x+

3

cos2x=2（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）=2sin（2x+

π

3

），
①y=f（x）的最大值为2，故①正确；
②当x=

13π

12

时，f（

13π

12

）=2sin（2×

13π

12

+

π

3

）=2sin

π

2

=2，为y=f（x）的最大值，故x=

13π

12

是y=f（x）的一条对称轴，故②正确；
③因为f（

π

8

）=2sin（2×

π

8

+

π

3

）≠0，所以（

π

8

，0）不是y=f（x）的一个对称中心，故③错误；
④因为f（x-

π

6

）=2sin[2（x-

π

6

）+

π

3

]=2sin2x，即y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位，可得到y=2sin2x的图象，故④正确；
综上所述，正确的命题序号是①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，突出考查三角恒等变换及正弦函数的对称轴与三角函数的图象变换，属于中档题．