Question

10．已知p：函数f（x）=（x-a）²在（-∞，-1）上是减函数，$q：?x＞0，a≤\frac{{{x^2}+1}}{x}$恒成立，则￢p是q的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 对于命题p：利用二次函数的单调性可得：-1≤a，￢p：a＜-1．对于命题q：由于x＞0，利用基本不等式的性质可得：$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$≥2，即可得出结论．

解答 解：p：函数f（x）=（x-a）²在（-∞，-1）上是减函数，∴-1≤a，∴￢p：a＜-1．
q：∵x＞0，∴$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$≥$2\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，当且仅当x=1时取等号，∴a≤2．
则￢p是q的充分不必要条件．
故选：A．

点评 本题考查了不等式的解法、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．