Question

1．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为$\frac{32}{3}$，则球O的表面积为64π．

Answer 1

分析 当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，利用三棱锥O-ABC体积的最大值为$\frac{32}{3}$，求出半径，即可求出球O的表面积．

解答 解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V_O-ABC=V_C-AOB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{R}^{2}×R$=$\frac{1}{6}{R}^{3}$=$\frac{32}{3}$，
故R=4，则球O的表面积为4πR²=64π，
故答案为：64π．

点评 本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大是关键．