Question

11．在边长为2的正方形AP₁P₂P₃中，点B、C分别是边P₁P₂、P₂P₃的中点，沿AB、BC、CA翻折成一个三棱锥P-ABC，使P₁、P₂、P₃重合于点P，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（　　）

• A． 4π
• B． 6π
• C． 12π
• D． 24π

Answer 1

分析 根据题意，得折叠成的三棱锥P-ABC三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，可得三棱锥P-ABC的外接球的直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP=2、BP=CP=1算出外接球的半径R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，结合球的表面积公式即可算出三棱锥P-ABC的外接球的表面积．

解答 解：根据题意，得三棱锥P-ABC中，AP=2，BP=CP=1
∵PA、PB、PC两两互相垂直，
∴三棱锥P-ABC的外接球的直径2R=$\sqrt{A{P}^{2}+B{P}^{2}+C{P}^{2}}$=$\sqrt{6}$
可得三棱锥P-ABC的外接球的半径为R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
根据球的表面积公式，得三棱锥P-ABC的外接球的表面积为
S=4πR²=4π×（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²=6π
故选：B．

点评 本题将正方形折叠成三棱锥，求三棱锥的外接球的表面积．着重考查了长方体的对角线长公式、三棱锥的外接球和球的表面积公式等知识，属于中档题．