Question

19．已知△ABC满足$\sqrt{3}$（sin²B+sin²C-sin²A）=2sinBsinC．
（1）求tanA；
（2）若BC=2$\sqrt{2}$，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把角化边，再利用余弦定理得出cosA，从而得出tanA；
（2）利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入三角形的面积公式得出面积的最大值．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$（sin²B+sin²C-sin²A）=2sinBsinC，
∴b²+c²-a²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}bc$．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\sqrt{2}$．
（2）由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+c{\;}^{2}-8}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴b²+c²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}bc$+8≥2bc，∴bc≤6+2$\sqrt{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{6}}{6}$bc≤$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．
∴△ABC的面积的最大值为$\sqrt{6}+\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，不等式的应用，属于中档题．