Question

8．已知过原点O的动直线l与圆C：（x+1）²+y²=4交于A、B两点．
（Ⅰ）若|AB|=$\sqrt{15}$，求直线l的方程；
（Ⅱ）x轴上是否存在定点M（x₀，0），使得当l变动时，总有直线MA、MB的斜率之和为0？若存在，求出x₀的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出圆心C（-1，0）到直线l的距离为$\frac{1}{2}$，利用点到直线距离公式能求出直线l的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂．设l的方程为y=kx，代入圆C的方程得（k²+1）x²+2x-3=0，由此利用韦达定理，结果已知条件能求出存在定点M（3，0），使得当l变动时，总有直线MA、MB的斜率之和为0．

解答 解：（Ⅰ）设圆心C（-1，0）到直线l的距离为d，
则d=$\sqrt{|CA{|}^{2}-（\frac{|AB|}{2}）^{2}}$=$\sqrt{4-\frac{15}{4}}$=$\frac{1}{2}$，…（2分）
当l的斜率不存在时，d=1，不合题意
当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx，
由点到直线距离公式得$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故直线l的方程为y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}x$．…（5分）
（Ⅱ）存在定点M，且x₀=3，证明如下：
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂．
当l的斜率不存在时，由对称性可得∠AMC=∠BMC，k₁+k₂=0，符合题意
当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx，代入圆C的方程
整理得（k²+1）x²+2x-3=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2}{{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{3}{{k}^{2}+1}$．…（8分）
∴${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-k{x}_{0}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{（{x}_{1}-{x}_{0}）（{x}_{2}-{x}_{0}）}$
=$\frac{（2{x}_{0}-6）k}{（{x}_{1}-{x}_{0}）（{x}_{2}-{x}_{0}）（{k}^{2}+1）}$．
当2x₀-6=0，即x₀=3时，有k₁+k₂=0，
所以存在定点M（3，0）符合题意，x₀=3．…（12分）

点评 本题考查直线方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．