Question

10．已知数列{a_n}中，a₁=1，且当n∈N^*时，有$\frac{1}{n+1}$a₁+$\frac{2}{n+1}$a₂+$\frac{3}{n+1}$a₃+…+$\frac{n}{n+1}$a_n=$\frac{1}{2}$a_n+1，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{n+1}$a₁+$\frac{2}{n+1}$a₂+$\frac{3}{n+1}$a₃+…+$\frac{n}{n+1}$a_n=$\frac{1}{2}$a_n+1，变形为a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=$\frac{n+1}{2}$a_n+1，利用递推关系可得：3na_n=（n+1）a_n+1．即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{3n}{n+1}$，利用“累乘求积”方法即可得出．

解答 解：∵$\frac{1}{n+1}$a₁+$\frac{2}{n+1}$a₂+$\frac{3}{n+1}$a₃+…+$\frac{n}{n+1}$a_n=$\frac{1}{2}$a_n+1，
∴a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=$\frac{n+1}{2}$a_n+1，
n≥2时，∴a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=$\frac{n}{2}{a}_{n}$，
∴na_n=$\frac{n+1}{2}$a_n+1-$\frac{n}{2}{a}_{n}$，化为：3na_n=（n+1）a_n+1．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{3n}{n+1}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•a₂
=3^n-2×$\frac{n-1}{n}×\frac{n-2}{n-1}$×…×$\frac{2}{3}$×1
=$\frac{2×{3}^{n-2}}{n}$．n=1时不成立．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{2×{3}^{n-2}}{n}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了递推关系、“累乘求积”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．