Question

16．已知曲线C上任意一点P到两个定点F₁（-2$\sqrt{3}$，0）和F₂（2$\sqrt{3}$，0）的距离之和为8．
（1）求曲线C的方程；
（2）过曲线C内一点M（2，1）引一条弦AB，使弦被点M平分，求这条弦所在直线的方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义，转化所求曲线方程为椭圆的标准方程，求出椭圆的几何量，即可得到椭圆的方程．
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用平方差法，转化求解AB的斜率，然后求解AB的方程即可．

解答 解：（1）∵$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=8＞|{{F_1}{F_2}}|=4\sqrt{3}$，
∴曲线C是以F₁、F₂为焦点，以8为长轴长的椭圆，
∴设$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
则$\left\{\begin{array}{l}2a=8\\{a^2}-{b^2}={（2\sqrt{3}）^2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=16\\{b^2}=4\end{array}\right.$，
∴曲线C的方程式$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵$\frac{{{x_1}^2}}{16}+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1$①，$\frac{{{x_2}^2}}{16}+\frac{{{y_2}^2}}{4}=1$②
∴由①-②可得，$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）}}{16}=-\frac{{（{y_1}-{y_2}）（{y_1}+{y_2}）}}{4}$
又∵当l_AB⊥x轴时，不符合题意，即（x₁-x₂）（y₁+y₂）≠0，
∴${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{4}{16}•\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}=-\frac{1}{4}•\frac{{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}}{{\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}}}=-\frac{1}{4}×\frac{2}{1}=-\frac{1}{2}$
∴弦AB所在直线的方程为$y-1=-\frac{1}{2}（x-2）$，
即x+2y-4=0．

点评 本题考查轨迹方程的求法，椭圆的定义的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，平方差法的应用，考查转化思想以及计算能力．