Question

1．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，
∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．
（Ⅰ）求证：CD⊥AM；
（Ⅱ）若AM=BC=2，
（1）求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．
（2）求二面角B-AD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （I）取CD的中点O，连结OM，OB，证明CD⊥平面OBM，OM⊥平面BCD，根据线面垂直的性质得出AB∥OM，于是AM?平面OBM，从而有CD⊥AB；
（II）（1）以O为原点建立坐标系，求出$\overrightarrow{AM}$和平面BDM的法向量$\overrightarrow{n}$，则直线AM与平面BDM所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AM}$＞|；
（2）分别求出两平面的法向量，则法向量夹角的余弦值的绝对值即为二面角B-AD-C的余弦值．

解答 解：（I）取CD的中点O，连结OM，OB，
∵△MCD为等腰直角三角形，△BCD为等边三角形，O为CD的中点，
∴OM⊥CD，OB⊥CD．
又OM?平面BOM，OB?平面BOM，OB∩OM=O，
∴CD⊥平面BOM，
平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM?平面MCD，OM⊥CD，
∴OM⊥平面BCD，又AB⊥平面BCD，
∴OM∥AB，∴A，B，O，M共面．
∴AM?平面BOM，
∴CD⊥AM．
（II）∵∵△MCD为等腰直角三角形，△BCD为等边三角形，AM=BC=2，
∴OB=$\sqrt{3}$，OM=OC=OD=1，
过M作MN⊥AB于N，则四边形MNBO为矩形，
∴MN=OB=$\sqrt{3}$，BN=OM=1，∴AN=$\sqrt{A{M}^{2}-M{N}^{2}}$=1，
（1）以O为原点，以OD，OB，OM为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，$\sqrt{3}$，2），M（0，0，1），B（0，$\sqrt{3}$，0），D（1，0，0），C（-1，0，0）
∴$\overrightarrow{AM}$=（0，-$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{BD}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BM}$=（0，-$\sqrt{3}$，1），
设平面BDM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}y=0}\\{-\sqrt{3}y+z=0}\end{array}\right.$，令y=1得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AM}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AM}|}$=$\frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{7}•2}$=-$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴直线AM与平面BDM所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AM}$＞|=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（2）$\overrightarrow{BA}$=（0，0，2），$\overrightarrow{CD}$=（2，0，0），$\overrightarrow{AC}$=（-1，-$\sqrt{3}$，-2），
设平面ABD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），平面ACD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{2{z}_{1}=0}\\{{x}_{1}-\sqrt{3}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{2}=0}\\{-{x}_{2}-\sqrt{3}{y}_{2}-2{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，
令y₁=1得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，1，0），令y₂=1得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（0，1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{1}{2•\frac{\sqrt{7}}{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴二面角B-AD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，空间角的计算与空间向量的应用，属于中档题．