Question

6．已知椭圆的两焦点坐标分别为（-4，0）和（4，0），且过点（5，0）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求该椭圆的长半轴、短半轴长、离心率、顶点坐标．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由题意可得：c=4，a=5，b²=a²-c²，解出即可得出．
（2）该椭圆的长半轴=a，短半轴长=b，离心率e=$\frac{c}{a}$，顶点坐标分别为（±a，0），（0，±b）．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由题意可得：c=4，a=5，∴b²=a²-c²=9．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
（2）该椭圆的长半轴=a=5，短半轴长=b=3，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$，
顶点坐标分别为（±5，0），（0，±3）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．