Question

18．已知椭圆方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{k}$=1的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则k的值为2或8．

Answer 1

分析 对椭圆的焦点分类讨论，利用椭圆的标准方程及其离心率计算公式即可得出．

解答 解：当椭圆的焦点在x轴上时，a²=4，b²=k，4＞k，$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{4-k}$，∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{4-k}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得k=2．
当椭圆的焦点在y轴上时，a²=k，b²=4，k＞4，$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{k-4}$，∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{k-4}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得k=8．
∴k=2或8，
故答案为：2或8．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．