Question

15．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若$\frac{a}{cosA}$=$\frac{b}{2cosB}$=$\frac{c}{3cosC}$，则sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由$\frac{a}{cosA}$=$\frac{b}{2cosB}$=$\frac{c}{3cosC}$，利用正弦定理，可得tanA=$\frac{1}{2}$tanB=$\frac{1}{3}$tanC，再结合和角的正切公式，同角三角函数基本关系式，即可得出结论．

解答 解：∵$\frac{a}{cosA}$=$\frac{b}{2cosB}$=$\frac{c}{3cosC}$，
∴tanA=$\frac{1}{2}$tanB=$\frac{1}{3}$tanC，
∵tanB=tan（π-A-C）=-tan（A+C）=-$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$=-$\frac{（\frac{1}{2}+\frac{3}{2}）tanB}{1-\frac{1}{2}tanB×\frac{3}{2}tanB}$，
∴tan²B=4，
∴sinB=$\sqrt{1-\frac{1}{ta{n}^{2}B+1}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查正弦定理的运用，考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．