Question

5．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为四边形，△ABD是边长为2的正三角形，BC⊥CD，BC=CD，PD⊥AB，平面PBD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若二面角C-PB-D的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$，求PD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连AC交BD于点O，由平面几何知识易知AC⊥BD，又平面ABCD⊥平面PBD，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可得出．
（Ⅱ）如图，以O 为坐标原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，建立如图空间直角坐标系，利用平面的法向量的夹角即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：连AC交BD于点O，由平面几何知识易知AC⊥BD，
又平面ABCD⊥平面PBD，BD 是交线，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面PBD，又PD?平面PBD，
∴AC⊥PD，又PD⊥AB，AC∩AB=A，
∴PD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：如图，以O 为坐标原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，
建立如图空间直角坐标系，
设PD=a，则C（1，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），
P（0，1，a），
易知$\overrightarrow{n_1}=（1，0，0）$ 是平面PBD 的一个法向量，
$\overrightarrow{BC}=（1，1，0），\overrightarrow{BP}=（0，2，a）$，
设$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$ 是平面PBC 的一个法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2y+az=0}\end{array}\right.$，取 $\overrightarrow{n_2}=（a，-a，2）$，
∴$cosθ=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{a}{{1•\sqrt{2{a^2}+4}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．
解得：a=1，∴PD 的长为1．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、平面的法向量的夹角、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．