Question

20．如图，已知四棱锥P-ABCD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠BDA=60°．
（1）证明：BC⊥PB；
（2）若PB=3，求点P到平面ABCD的距离．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点，连接OP，OB，利用线面垂直的判定定理可得AD⊥平面POB，又BC∥AD，可得BC⊥平面POB，即可证明BC⊥PB．
（2）设点P到平面ABCD的距离为h，由（1）可得：AD⊥平面POB，点A到平面POB的距离是AO=1．利用V_P-BOD=V_B-POD，即可解出．

解答 （1）证明：取AD的中点，连接OP，OB，由已知可得：OP⊥AD，OB⊥AD，又OP∩OB=O，
∴AD⊥平面POB，
∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，
∵PB?平面POB，∴BC⊥PB．
（2）解：设点P到平面ABCD的距离为h，由（1）可得：AD⊥平面POB，点A到平面POB的距离是AO=1．
在△POB中，PO=BO=$\sqrt{3}$，PB=3，
∴S_△POB=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$×3=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
由V_P-BOD=V_B-POD，
可得：$\frac{1}{3}h×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}×1×\frac{3\sqrt{3}}{4}$，可得h=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、等积变形，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．