Question

8．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-2=0相切，则圆C面积的最小值为（　　）

• A． $\frac{π}{5}$
• B． $\frac{π}{10}$
• C． $\frac{4π}{5}$
• D． $\frac{5π}{4}$

Answer 1

分析 由O向直线2x+y-2=0做垂线，垂足为D，当D恰为圆与直线的切点时，圆C的半径最小，此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y-2=0的距离，由此能求出圆C面积最小值．

解答 解：∵AB为直径，∠AOB=90°，
∴O点必在圆C上，
由O向直线2x+y-2=0做垂线，垂足为D，
则当D恰为圆与直线的切点时，圆C的半径最小，
此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y-2=0的距离d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$
∴此时圆的半径r=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴圆C面积最小值S_min=πr²=$\frac{π}{5}$，
故选：A．

点评 本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题．