Question

3．已知与定点O（0，0），A（0，3）的距离比为$\frac{1}{2}$的点P的轨迹为曲线C，过点B（0，2）的直线l与曲线C交于M，N两点．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）判断$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$是否为定值？若是求出这个定值，若不是请说明理由；
（3）若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=1，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设曲线C上的任意一点P（x，y），由题意可得：$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，化简即可得出．
（2）直线l的斜率不存在时，直线l与曲线C相交于点（0，1），（0，-3）．则$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=5．直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+2，直线l与曲线C相交于点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），与圆的方程联立可得：（1+k²）x²+6kx+5=0，△＞0，解得k的范围．把根与系数的关系代入可得$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=5．
（3）$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=1，由（2）可得：根与系数的关系，代入解出即可得出．

解答 解：（1）设曲线C上的任意一点P（x，y），
由题意可得：$\frac{|OP|}{|PA|}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，化为：x²+（y+1）²=4．
（2）直线l的斜率不存在时，直线l与曲线C相交于点（0，1），（0，-3）．
则$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=（0，-1）•（0，-5）=0+5=5．
直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+2，
直线l与曲线C相交于点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}+（y+1）^{2}=4}\end{array}\right.$，化为（1+k²）x²+6kx+5=0，
△=36k²-20（1+k²）=16k²-20＞0，解得k²$＞\frac{5}{4}$．
∴x₁x₂=$\frac{5}{1+{k}^{2}}$，∴$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）=（1+k²）x₁x₂=5．
综上可得：$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$为定值5．
（3）$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=1，
由（2）可得：根与系数的关系：x₁+x₂=-$\frac{6k}{1+{k}^{2}}$，（1+k²）x₁x₂=5．
∴5+2k×$\frac{-6k}{1+{k}^{2}}$+4=1，化为：k²=2，解得k=$±\sqrt{2}$．满足△＞0．
∴直线l的方程为：y=$±\sqrt{2}$x+2．

点评 本题考查了曲线的方程、两点之间的距离公式、直线与圆相交转化为一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．