Question

2．已知函数f（x）=ln（1+x）一$\frac{ax}{x+1}$（a＞0）．
（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）证明：${（\frac{2015}{2016}）^{2016}}＜\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 （I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，f′（x）=$\frac{x+1-a}{（x+1）^{2}}$≥0，结合a＞0，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）要证明${（\frac{2015}{2016}）^{2016}}＜\frac{1}{e}$，只要证明$（\frac{2016}{2015}）^{2016}$＞e，两边取对数可得2016ln$\frac{2016}{2015}$＞1，只要证明ln$\frac{2016}{2015}$-$\frac{1}{2016}$＞0，构造函数f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{x+1}$，其中f（0）=0，即可证明．

解答 （I）解：当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，f′（x）=$\frac{x+1-a}{（x+1）^{2}}$≥0，
即x+1-a≥0在[0，+∞）内恒成立，
∴a≤x+1在[0，+∞）内恒成立，
又x+1的最小值为1，
∴a≤1，
∵a＞0，
∴0＜a≤1；
（Ⅱ）证明：要证明${（\frac{2015}{2016}）^{2016}}＜\frac{1}{e}$，只要证明$（\frac{2016}{2015}）^{2016}$＞e，
两边取对数可得2016ln$\frac{2016}{2015}$＞1，
只要证明ln$\frac{2016}{2015}$-$\frac{1}{2016}$＞0，
注意到2016=2015+1，所以ln$\frac{2016}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=ln（1+$\frac{1}{2015}$）-$\frac{1}{2015+1}$
=ln（1+$\frac{1}{2015}$）-$\frac{\frac{1}{2015}}{1+\frac{1}{2015}}$．
构造函数f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{x+1}$，其中f（0）=0，
由（I）知，x≥0，f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{x+1}$在[0，+∞）内是增函数，
∴f（$\frac{1}{2015}$）=ln$\frac{2016}{2015}$-$\frac{1}{2016}$＞f（0）=0，
∴ln$\frac{2016}{2015}$＞$\frac{1}{2016}$，
∴${（\frac{2015}{2016}）^{2016}}＜\frac{1}{e}$．

点评 本题考查对数知识的综合运用，考查函数的单调性与不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．