Question

10．已知CD是圆上的一条弦，延长CD与B点使得CD=BD，过D作BC的中垂线在中垂线上找到一点A使得AB⊥AC，连接AC交圆与H点连接BH，分别交AD与F点，交圆与G点，连接DG．求证：四边形ABDG有外接圆．

Answer 1

分析 先由割线定理得BD•BC=BG•BH，再由图中的等量关系，得BD•BC=2BD²=AB²=BG•BH，证明△BAH∽△BGA，从而得出∠AGB=∠HAB=90°，即AG⊥GB，再由DB⊥AD，即可得证．

解答 证明：如图所示，由割线定理，得BD•BC=BG•BH，
∵CD=BD=AD，DA⊥BC，
∴AC=AB=$\sqrt{2}$BD，∠BAD=∠CAD=45°，
∴△CBA是等腰直角三角形，即∠CAB=90°，
∴BD•BC=2BD²=AB²=BG•BH，即$\frac{AB}{BG}$=$\frac{BH}{AB}$，
又∵∠ABG=∠ABH，∴△BAH∽△BGA，
∴∠AGB=∠HAB=90°，即AG⊥GB．
又DB⊥AD，
可得四边形ABDG有外接圆．

点评 本题主要考查圆中的垂直关系、割线定理、三角形相似等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．